从小学，到初中，再到高中，几何学习当然是一个绕不开的话题。这篇文章用大白话聊聊三个阶段几何学习的关键词，你可能想不到，每个阶段的关键词是完全不同的。
一、小学阶段几何学习的关键词是“感知”。
小学是几何学习的启蒙阶段，会开始认识一些平面图形和简单的立体图形，初步了解图形的特征，进行一些简单的度量相关的计算，比如面积和周长。
总体而言，小学阶段的几何问题，不论是图形识别与分类，还是空间想象和动手操作，或者基础的计算，都在一个非常简单的层次上进行。
这也符合小学阶段的思维特征：主要依赖直观的经验，通过操作与观察来进行判断和学习。
因为这一阶段，对思维层次的要求很低，因此比较少有孩子在小学阶段对几何感到头大（相比其它模块）。
二、初中阶段几何学习的关键词是“逻辑”。
一到初中，几何似乎瞬间就变成了考试的重点，也是考试的难点。
初中是几何学习的关键阶段，主要内容是平面几何的系统性的学习。相比小学，初中的平面几何开始涉及大量的定理，也开始涉足证明问题。
初中阶段的几何问题，对学生的逻辑推理能力要求很高，对图形结构的理解要求也很高。初中的平面几何，以几何图形为载体，考查学生的逻辑推理能力。
相比以“感知”为主的实验性的小学阶段的几何，初中阶段的几何学习强调严谨的演绎推理，也就是古希腊《几何原本》里的那种味道。
在初中刚开始学习平面几何证明的时候，往往要求写出每一步推理成立的原因。我一直觉得，很多学生到高中都“不讲道理”，“因为”“所以”开口就来，可能就是从初中平面几何没学好开始的。
到了初中，不仅在推理论证中要求严谨，在定义上，也可以很明显地感受到不同。
比如，初中对圆的定义是：“同一平面上到定点的距离为定长的点的集合（轨迹）。”而在小学，其实只是举了一些例子，借助圆规，告诉你这个漂亮的图形叫做圆。
从小学到初中，几何图形变得更加复杂，逻辑推理要求“严谨”了起来，变得更需要“讲道理”了。因此，许多人就一下子不适应了。
这个时候，如果不去理清图形结构，真正搞明白每个定理的来龙去脉，而是去依靠所谓几十个几何模型来学习几何，那基本就是死路一条了。
三、高中阶段几何学习的关键词是“代数”。
几何学习到了高中，又发生一个更大的变化。
高中的几何其实可以分为两部分，一是平面解析几何（直线和圆、椭圆、双曲线、抛物线），二是立体几何。
所谓平面解析几何，实际上就是通过平面直角坐标系，用代数的方法（曲线的方程）来研究几何问题。简单来说，就是图形的代数化，这也是高中平面解析几何的运算量巨大的原因所在。
很多人可能有一种感受，初中的平面几何的证明优美，计算量小，而高中平面解析几何却往往呈现出一种暴力美学。（下图中的解题过程已经省去了草稿纸上大概一两页的运算过程。）
而至于高中的立体几何，本来的确是初中平面几何的进一步的延展，体系也如出一辙，更强调从若干公理出发建立立体几何的体系。
但是在实际的教学和学习过程中，因为公理化体系研究立体几何的一些内容相对比较难，所以从应试出发的话，教学和考试的重点往往都变成了用空间向量结合空间直角坐标系来解决立体几何问题。
于是，最后我们就发现，在高中，几何的关键词竟然变成了“代数”，也是很有意思的一个现象。
最后，我要说明的是，这篇文章只是从每个学段的内容和要求总结的关键词，这些看起来差异很大，甚至有些割裂。但实际上，在小初高一体化的视角下，我们是可以将这些问题系统设计并妥善处理的。以后有时间的时候，我再和大家展开聊聊我的课程体系是怎么做的。
